يمكننا إثبات أن ١ + ١ = ٢ من خلال استعمال ما يلقبه علماء الرياضيات بالـ "Peano axioms" أو بالعربية: "مُسَـلـَّمات بيانو".
مجموعة المسلمات (البديهيات) هذه تشكل البنية التحتية للعمليات الحسابية وبالتحديد للأرقام الطبيعية (٠, ١, ٢, ٣, ....) وخصائصها. وباستخدام هذه الخصائص, يمكن لنا أن نجيب عن هذا النوع من الأسئلة بسهولة. لن أطيل عليك وسأذكر لك هذه المسلمات بالترتيب (هنا سأستعمل الرموز "س" و"ص" و"ع" كرموز لأرقام طبيعية):
أول أربعة مسلمات تخص عملية المساواة (=) بين الأعداد الطبيعية.
١- كل رقم طبيعي يساوي نفسه, بما معناه أن: (س = س). لأي "س".
٢- إذا كان (س = ص) , إذن فـ (ص = س). لأي "س" و"ص".
٣- إذا كان (س = ص) و (ص = ع), إذن فـ (س = ع). لأي "س" و"ص" و"ع".
٤ - لأي رقمين, "أ" و"ب", إذا كان "أ" عدد طبيعي, وكان (أ = ب), إذن فـ "ب" هو كذلك عدد طبيعي.
المسلمة الخامسة تُعرّف عدد طبيعي مميز, وهو "الصفر". ويمكن لنا أن نستعمل أي رمز نرغب به للصفر ولكن لتجنب الإرتباك, سأقوم باستعمال الرمز المعروف "0".
٥- الصفر (0) هو رقم طبيعي.
ثم المسلمات التالية تحدد علاقة رياضية للأرقام الطبيعية وسوف نسمي هذه العلاقة بالاسم "علاقة التتالي" أو "التتابع" وسنرمز لهذه العلاقة بالرمز "ت":
٦- لكل عدد طبيعي س: ت(س) هو كذلك عدد طبيعي.
٧- لكل عدد طبيعي س: ت(س) لا يساوي 0. أي أنه لا يوجد عدد طبيعي يتلوه الصفر (لا يوجد عدد طبيعي يأتي قبل الصفر).
٨- إذا كان: ت(س) = ت(ص). إذن فـ (س = ص).
٩- إذا كانت مجموعة رياضية تحتوي على الصفر وتحتوي على ت(س) لكل س فيها -- أي أنها تحتوي على تابع كل عدد طبيعي فيها. إذن فهذه المجموعة تحتوي على كل الأعداد الطبيعية.
-----
إذن فـ 0 هو الصفر.
والآن, ما هما: 1, 2؟
1 ما هو إلا رمز نستخدمه لـ: ت(0).
2 ما هو إلا رمز نستخدمه لـ: ت(1) = ت(ت(0))
وهكذا فـ: 3 ما هو إلا الرمز لـ: ت(2) = ت(ت(ت(0)))
وبهذه الطريقة نحصل على جميع الأرقام: 4, 5, 6, ...
-- تذكر: يمكننا أن نستخدم أي رموز نريد, ولكن لتجنب الإرتباك سنستخدم هذه الرموز لأنها الرموز المعروفة لهذه الأرقام.
-----
الآن بعد أن تم تعريف هذه المبادئ الحسابية باستخدام هذه المسلمات يمكننا استخدام هذه التعريفات مع مسلمات نظرية المجموعات الرياضية كي نثبت أي علاقة رياضية حول الأعداد الطبيعية.
ولكن, بقي شيء واحد, وهو أن نعرف عملية الجمع "+":
عملية الجمع يتم تعريفها من خلال المسلمتين التاليتين:
١- لكل عدد طبيعي س: (س + 0 = س)
٢- لكل عددين طبيعيين س, ص:
س + ت(ص) = ت(س + ص)
-- تذكر أن "ت" هي عملية التتالي التي عرفناها منذ قليل.
-----
والآن, وأخيرا, يمكننا أن نثبت أن ١ + ١ = ٢ بكل سهولة:
1 + 1 = 1 + ت(0) = ت(1 + 0) = ت(1) = 2
إذن, فـ ١ + ١ = ٢
-----
بنفس الطريقة يمكننا اثبات أن ٢ + ٢ = ٤:
2 + 2 = 2 + ت(1) = ت(2 + 1) = ت(2 + ت(0)) = ت(ت(2 + 0)) = ت(ت(2)) = ت(3) = 4
أتمنى أن أكون قد أفدتك... [i]